บทเรียนที่ 12: เซต (Sets)

เซต (Sets) เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

• เซตสระในภาษาอังกฤษ  หมายถึง  กลุ่มของอังกฤษ  a, e, i, o และ u
• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง  กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

แล้วสิ่งที่อยู่ในเชตเราจะเรียกว่า  "สมาชิก  (element หรือ members)"

การเขียนเซต (Sets) สามารถเขียนได้ 2  แบบ คือ
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { }  และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว  เช่น

• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า  7  เขียนแทนด้วย  {1,2,3,4,5,6,}
• เซตของพยัญชนะไทย  5  ตัวแรก  เขียนแทนด้วย  { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข  โดยใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต  แล้วบรรยายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร  เช่น

• {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ
• {x| x  เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี  เครื่องหมาย “ | ”  แทนคำว่า  โดยที่

ดังนั้นในการเขียน เซต (Sets) แบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... )  เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต  เช่น

• { 1,2,3,...,10 }  สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
• { วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี  วันศุกร์  และวันเสาร์  เป็นสมาชิกของเซต

สัญลักษณ์แทน เซต (Sets)
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่  เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

• A = {1,4,9,16,25,36}  หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต จะใช้สัญลักษณ์ “  € ”  แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน  เช่น

• A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า  1   เป็นสมาชิกของ  A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  1  €A
               3   เป็นสมาชิกของ  A  หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย  3€ A

คำว่า “ไม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน”  เขียนด้วยสํญลักษณ์  “ € ”  เช่น

• 5  ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A
• 7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย  7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัวอย่างที่ 1:   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1. เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
2. เซตของจำนวนเมลบ
3. เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ

1. ให้  A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วย -บุรี  A = {  สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }
2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ B = {-1,-2,-3,…}
3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

ตัวอย่างที่ 2:   จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

1. A = {2,4,6,8,10}
2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ

1. A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }
2. B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ (อ่านว่าไฟ (phi))
ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

• A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

•          A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
•          B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) =  4
•          C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์ คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย  นับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

• A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
• B = {x| x 3,7,11,15,…}
• C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต (Condition)

1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด
2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}
3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป  มีดังนี้

• I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...}
• I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}
• I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}
• N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}
• P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เรื่อง เซตที่เท่ากัน

• เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
• และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่  1    A = {0,1,2 } และ  B = {2,0,1}
ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย  A = B

ตัวอย่างที่  2   กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8} จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

วิธีทำ
A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้  A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

2. เอกภพสัมพัทธ์
ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก  จะต้องกำหนดเซตของ  เอกภพสัมพัทธ์  เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า  เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 
U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A  แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ U = {ก,ข,ค,...,ฮ}
ดังนั้น   A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2 
U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ U = {1,2,3,…}
ดังนั้น B = {1,2,3,4}

3. สับเซตและเพาเวอร์เซต
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

• A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}
• จะได้ว่า  A     B แต่ B  A

รายละเอียดเกี่ยวกับ เซต (Sets) และหลักการใช้ มีดังนี้
1. การเขียนแผนภาพแทนเซต ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่าง

• ยูเนียน คือ เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบไปด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A U B
• อินเตอร์เซกชัน คือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบไปด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และ เซต B สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B
• คอมพลีเมนต์ คือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A'
• ผลต่าง คือ ถ้าเซต A และเซต B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ U เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือเซตซึ่งประกอบไปด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A-B

2. สับเซต และเพาเวอร์เซต

• สับเซต คือ เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A C B
• เพาเวอร์เซต คือ เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ P(A)

3. เซตจำกัด เซตอนันต์ เซตที่เท่ากัน เซตว่าง และเอกภพสัมพัทธ์

• เซต หมายถึง กลุ่มคน สัตว์ สิ่งของต่างหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า"สมาชิกของเซต"
• เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้
• เซตอนันต์ คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
• เซตที่เท่ากัน คือ เซต A และเซต B จะเป็นเซตที่เท่ากันก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A=B
• เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษาสามารถเขีนยแทนด้วยสัญลักษณ์ u
• เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกหรือจำนวนสมาชิกเป็นศุนย์สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ {}

4. จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

• ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B)
• ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)